UNIDAD 3: GRAFICACION EN 3D
3.1.-
REPRESENTACIÓN DE OBJETOS EN TRES DIMENSIONES.
En
computación, un modelo en 3D es: “Un mundo conceptual en tres dimensiones”.
Un
modelo 3D se ve de dos formas distintas:
·
Desde un punto de vista
técnico, es un grupo de fórmulas matemáticas que describen un “mundo” en tres
dimensiones.
·
Desde un punto de vista
visual, valga la redundancia, un modelo en 3D es una representación esquemática
visible a través de un conjunto de objetos, elementos y propiedades que, una
vez procesados (renderización), se convertirán en una imagen en 3D o una
animación 3d.
La
representación de los objetos en tres dimensiones sobre una superficie plana,
de manera que ofrezcan una sensación de volumen se llama Perspectiva. Se
representan los objetos sobre tres ejes XYZ. En el eje Z, se representa la
altura. En el eje Y, se representa la anchura y en el eje X, se representa la
longitud. Los distintos tipos de perspectivas dependen de la inclinación de los
planos Los sistemas más utilizados son la isométrica, la caballera y la cónica.
Formas geométricas
| Formas geométricas espaciales | |
| Figura |  |
| Pirámide |  |
| Cuña |  |
| Prisma |  |
| Cilindro |  |
| Cono |  |
| Esfera |  |
| Elipsoide |  |
| Paraboloide |  |
| Hiperboloide |  |
La perspectiva
La
perspectiva es el arte de dibujar volúmenes (objetos tridimensionales) en un
plano (superficie bidimensional) para recrear la profundidad y la posición
relativa de los objetos. En un dibujo, la perspectiva simula la profundidad y
los efectos de reducción dimensional y distorsión angular, tal como los
apreciamos a simple vista. Es en el renacimiento cuando se gesta la perspectiva
como disciplina matemática, para conseguir mayor realismo en la pintura.
Perspectiva Caballera.- En ella los ejes X y Z tienen un ángulo de 90º y el
eje Y con respecto a Z tiene una inclinación de 135º. En este caso las
medidas en los ejes X y Z son las reales y las del eje Y tiene un coeficiente
de reducción de 0.5.
Renderizado
El
renderizado es un proceso de cálculo complejo desarrollado por un ordenador
destinado a generar una imagen 2D a partir de una escena 3D. Así podría decirse
que, en el proceso de renderización, la computadora “interpreta” la escena 3D y
la plasma en una imagen 2D.
La
renderización se aplica a los gráficos por ordenador, más comúnmente a la
infografía. En infografía este proceso se desarrolla con el fin de imitar un
espacio 3D formado por estructuras poligonales, comportamiento de luces,
texturas, materiales, animación, simulando ambientes y estructuras físicas
verosímiles, etc. Una de las partes más importantes de los programas dedicados
a la infografía son los motores de render los cuales son capaces de realizar
técnicas complejas como radiosidad, raytrace (trazador de rayos), canal alpha,
reflexión, refracción, iluminación global, etc.
Cuando
se trabaja en un programa de diseño 3D por computadora, no es posible
visualizar en tiempo real el acabado final deseado de una escena 3D compleja ya
que esto requiere una potencia de cálculo demasiado elevada. Por lo que se opta
por crear el entorno 3D con una forma de visualización más simple y técnica y
luego generar el lento proceso de renderización para conseguir los resultados
finales deseados.
3.2 VISUALIZACIÓN DE OBJETOS
En
este caso trataremos con las proyecciones que van del espacio al plano (3D a
2D). La proyección de objetos tridimensionales será definida por la
intersección de líneas rectas que van desde un centro de proyección u ojo,
hasta cada punto del objeto.
Proyección Acotada
Es
una proyección ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto
representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de
referencia que sea paralelo al plano de proyección. La proyección acotada es
muy práctica cuando es necesario representar gráficamente objetos irregulares;
razón por la cual se usa frecuentemente para el diseño de techos de viviendas;
construcción de puentes, represas, acueductos, gasoductos, carreteras,
determinación de áreas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topográficos
de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.
Proyección Cónica.
Denominada
también perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observación y el objeto se
encuentran relativamente cercanos. Es el sistema de representación gráfico en
donde el haz de rayos proyectantes confluye en un punto (el ojo del
observador), proyectándose la imagen en un plano auxiliar situado entre el
objeto a representar y el punto de vista.
Proyección ortogonal
La
Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son
perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección),
estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante
con los proyectados.
Existen
diferentes tipos:
·
Vista A: Vista frontal o
alzado
·
Vista B: Vista superior
o planta
·
Vista C: Vista derecha o
lateral derecha
·
Vista D: Vista izquierda
o lateral izquierda
·
Vista E: Vista inferior
·
Vista F: Vista posterior
Proyección oblicua.
Es
aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de
proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento
proyectante con los proyectados.
Una proyección Oblicua se obtiene proyectando puntos a lo
largo de líneas paralelas que no son perpendiculares al plano de proyección. La
figura muestra una proyección oblicua de un punto (x, y, z) por una línea de
proyección a la posición (xp, Yp).
3.3 TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES.
Las transformaciones de los objetos, son la
Posición, la Rotación y la Escala.
Determinan
la ubicación en el la escena mediante coordenadas trigonométricas en los ejes
de coordenadas x, y y z. Se refieren a todo el objeto. La manera más
fácil de conseguir las transformaciones básicas (traslación, rotación,
escalación, en general las transformaciones afines) es utilizando matrices de
transformación.
Coordenadas homogéneas
Nos será útil sustituir las coordenadas (x, y) por las coordenadas (xh, yh, h), llamadas coordenadas homogéneas, donde:
x = xh/h, y = yh/h
Coordenadas homogéneas
Nos será útil sustituir las coordenadas (x, y) por las coordenadas (xh, yh, h), llamadas coordenadas homogéneas, donde:
x = xh/h, y = yh/h
(xh,
yh, h) = (h . x, h . y, h)
Expresar
posiciones en coordenadas homogéneas nos permite representar todas las
ecuaciones de transformación geométrica como multiplicaciones de matriz. Se
representan las coordenadas con vectores de columna de 3 elementos y las
operaciones de transformación se expresan como matrices de 3 por 3.
Matrices de transformación
en 3D más comunes
Traslación.
En la
representación homogénea tridimensional de las coordenadas, se traslada un
punto de la posición P = (x, y, z) a la posición P’ = (x’, y’, z’) con la
operación de matriz
P’ = T x P
P’ = T x P
donde
P y P’ son vectores columna como matrices, la matriz
T=1 0
0 tx
0 1 0 ty
0 0 1 tz
0 0 0 1
0 1 0 ty
0 0 1 tz
0 0 0 1
y tx,
ty y tz especifican las distancias de traslación en x, y y z
x’ =
x + tx
y’ = y + ty
z’ = z + tz
y’ = y + ty
z’ = z + tz
Método De Traslación.
En
una representación coordenada homogénea tridimensional, un punto es trasladado
(fig.11.1) de la posición (x,y,z) a la posición (x’,y’,z’) con la Operación
matricial.
[x´,y´,z´,1]=[x,
y, z, 1]
Los
parámetros Tx, Ty, Tz, que especifican distancias de traslación para las
coordenadas, reciben la asignación de cualquier valor real. La representación
matricial de la ecuación 11.1 es equivalente a las tres ecuaciones:
x’ =x
+ Tx, y’ = y + Ty, z’ =z + Tz
Un
objetivo se traslada en tres dimensiones transformando cada punto definidor del
objeto. La traslación de un objeto representada como un conjunto de superficies
poligonales se efectúa trasladando los valores coordenados para cada vértice de
cada superficie. El conjunto de posiciones coordenadas trasladadas de los
vértices define entonces la nueva posición del objeto.
3.4 LINEAS Y SUPERFICIES CURVAS
Las ecuaciones de los objetos con límites
curvos se pueden expresar en forma paramétrica o en forma no paramétrica. El
Apéndice A proporciona un resumen y una comparación de las representaciones
paramétricas y no paramétricas. Entre los múltiples objetos son útiles a menudo
en las aplicaciones gráficas se pueden incluir las superficies cuadráticas, las
supercuádricas, las funciones polinómicas y exponenciales, y las superficies
mediante splines. Estas descripciones de objetos de entrada se teselan
habitualmente para producir aproximaciones de las superficies con mallas de
polígonos.
La necesidad de representar curvas y
superficies proviene de modelar objetos “from scratch” o representar objetos
reales. En este último caso, normalmente no existe un modelo matemático previo
del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras
formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del modelo sean
cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.
La representación no paramétrica de una curva (por
ejemplo, en dos dimensiones) puede ser implícita, y = f(x) O bien explícita,
f(x, y) = 0
La forma implícita no puede ser representada
con curvas multivaluadas sobre x (por ejemplo, un círculo), mientras que la forma
explícita puede requerir utilizar criterios adicionales para especificar la
curva cuando la ecuación tiene más soluciones de las deseadas.
Representación paramétrica.
Una representación paramétrica (por ejemplo,
de una curva bidimensional) tiene la forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t
<= t2
La derivada o vector tangente es
P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T
El parámetro t puede reemplazarse mediante
operaciones de cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0
y t2 = 1. Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de
este tipo normalmente modifica el comportamiento de la curva (esto es visible
al comparar sus derivadas).
BIBLIOGRAFÍA:
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